التباديل و التوافيق شرح مبسط

الدرس الاول ::
مبدأ العد الاساسي ::

العد من المهارات الاساسية في الرياضيات , فكثيراً ما تواجهنا مسائل يحتاج حلها الى اجراء عمليات عد بطرق مختلفة , و من ذلك مثلا معرفة عدد طرق ترتيب اربعة كتب مختلفة على رف , او معرفة عدد طرق اختيار فريق لكرة السلة مكون من خمسة لاعبين من بين اثنى عشر لاعباً , او معرفة عدد طرق اختيار عينة خماسية من مجتمع احصائى مكون من 200 شخص او .........الخ.

للاجابة عن هذه المسائل و غيرها سنتعرف على استراتيجيات مختلفة للعد
, وسنبدأ اولا بالتعرف على ما يسمى بمبدأ العد الاساسي .

مثال(1) ::
كم عددا مكونا من منزلتين يمكن تكوينه بحيث نختار رقم الاحاد من بين عناصر المجموعة (2 ,3, ورقم العشرات من بين عناصر المجموعة (5 , 4 ) ؟

الحل::
يمكن استخدام الشجرة البيانية لاجراء احصاء فعلي لجميع الاعداد الممكنة هكذا::
_2_45_4_5448
____58

اذن عدد جميع الاعداد الناتجة = 6
لاحظ ان هناك 3 طرق مختلفة لاختيار رقم الاحاد
و ان هناك طريقتين مختلفتين لاختيار رقم العشرات مقابل كل طريقة من الطرق الثلاثة الاولى
فيكون لدينا 3*2=6 طرق مختلفة لاختيار رقمي الاحاد و العشرات

يوضح المثال السابق مبدا العد الاساسيو الذي يمكن صياغته على النحو التالي ::

اذا امكن اجراء عملية مركبة على مرحلتين , وكان عدد طرق اجراء المرحلة الاولى هو ن 1 ,و كان عدد طرق اجراء المرحلة الثانية هو ن2 , فان عدد طرق اجراء العملية بالمرحلتين معا هو ن1*ن2

و يمكن تعميم المبدأ لاكثر من مرحلتين كما في المثلة الاتية ::

مثال(2) ::
يقدم احد المطاعم 4 اصناف من اللحوم , و3 اصناف من السلطات , وصنفين من الحلوى كم عدد الاختيارات الممكنة لوجبة غذائية مكونة من صنف واحد من كل نوع ؟
الحل ::
اختيار صنف من اللحوم يمكن ان يتم بثلاثة مراحل ::
اولا :: اختيار صنف من اللحوم و يتم باربع طرق
ثانيا:: اختيار صنف من السلطات و يتم بثلاث طرق
ثالثا:: اختيار صنف من الحلوى و يتم بطريقتين
اذن عدد طرق اختيار الوجبة الغذائية = 4*3*2=24 طريقة

مثال (3)::
صندوق فيه 8 كرات مختلفة سحبت 3 كرات الواحدة تلو الاخرى . جد عدد طرق سحب الكرات الثلاث اذا كان السحب ::
أ‌-دون ارجاع
ب‌-مع ارجاع

الحل ::
أ‌-السحب دون ارجاع
عدد طرق سحب الكرة الاولى =8
عدد طرق سحب الكرة الثانية =7
عدد طرق سحب الكرة الثالثة =6
اذن عدد طرق سحب الكرات الثلاث =8*7*6=336 طريقة

ب‌-السحب مع ارجاع
عدد طرق سحب الكرة الاولى=8
عدد طرق سحب الكرة الثانية =8
عدد طرق سحب الكرة الثالثة =8
اذن عدد طرق سحب الكرات الثلاث =8*8*8=512 طريقة

تمارين ومسائل للذي او للتي تحب ان تجيب ::
1- لحديقة 4 ابواب بكم طريقة تستطيع نادية الدخول للحديقة من احد الابواب و الخروج من الباب آخر؟

2- يعمل في شركة 8 مهندسين , 3 فنيين , 24 عاملا . بكم طريقة يمكن تكوين فريق عمل مكون من مهندس و فني و عامل ؟

3- اراد شخص السفر من نابلس الى بيت لحم , فاذا كان امامه 3 طرق مختلفة للسفر من نابلس الى رام الله , و طريقتان مختلفتان للسفر من رام الله الى بيت لحم , فبكم طريقة يمكنه السفر من نابلس الى بيت لحم مارا برام الله ؟